La serie infinita de 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1...

Disfruté mucho viendo el siguiente video, producido por el Dr. James Grime, creador de Numberphile, un canal dedicado a las matemáticas, que se centra en el estudio de las propiedades y peculiaridades de los números. Por el momento este video está en inglés y no será de mucha ayuda para quienes no manejan el idioma... pero no se preocupen, ya que explicaré los puntos principales del video a continuación.

El Dr. James considera la siguiente suma infinita (a veces llamada serie de Grandi):

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 ...

Posee esta serie una SUMA?

Curiosamente, si colocamos paréntesis de la siguiente manera:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ...

y realizamos las restas que resultan, claramente obtenemos ZERO como suma.

PERO si colocamos los paréntesis de manera diferente:

1 + (− 1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ...

obtenemos UNO  como suma!



¿QUÉ ESTA PASANDO?


James también muestra DOS MANERAS de obtener una suma de 1/2 para esta serie (ver el video y la página de wikipedia sobra la serie de Grandi).

¿ESTAS DESORIENTADO?

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Para recuperar un poco de CORDURA en esta situación, tenemos que considerar la DEFINICION de suma de una serie infinita.

Para ello vamos a considerar las sumas parciales de los términos de la serie. Es decir vamos a considerar la suma de los 2 primeros términos, la suma de los 3 primeros términos, la suma de los 4 primeros términos, y así sucesivamente.

SI esas sumas parciales tienden hacia un número fijo (un límite), ENTONCES ese número es la SUMA para la serie infinita!

Las sumas parciales para la serie de Grandi son:

S₂ = 1 − 1 = 0
S₃ = 1 − 1 + 1 = 1
S₄ = 1 − 1 + 1 − 1 = 0
S₅ = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1
S₆ = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 = 0
S₇ = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1
...

Como puedes ver, las sumas parciales no tienden a ningún número fijo... más bien forman una secuencia en donde se alternan 0s y 1s.

Eso PRUEBA que esta serie no "converge", o no tiene suma definida (se dice entonces que la serie diverge).

¿Te das cuentas que fácil es obtener resultados erróneos e incongruentes si no somos suficientemente cuidadosos? Por un momento pudiste pensar que la serie infinita fuera convergente (tuviese suma)... fue sólo cuando aplicamos las herramientas matemáticas correctas que pudimos demostrar que no era así.. Tenemos que tener cuidado cuando trabajamos con series ya que las operaciones que se efectúan sobre sus términos, aparentemente inocuas, pueden modificar el resultado.

Aquí vimos claramente como procedimientos diferentes de agrupamiento (cuando introdujimos los paréntesis) condujeron a resultados contradictorios. Es como si el resultado de la serie dependiera de la forma de verla....

Reordenando los términos de la serie de Grandi se puede obtener cualquier número entero... así la serie, con sus unos y menos unos, estaría saltando de un valor a otro, sin nunca tomar un valor fijo. Es como un IMPOSTOR! Pretendiendo ser algo que no es...pretendiendo ser una verdadera serie convergente.... sin serlo.

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Para una comparación, te mostramos a continuación una VERDADERA serie convergente (que tiene una suma bien definida):

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...

(Es una simple serie geométrica)

Sus sumas parciales son:

S₁ = 1
S₂ = 1 + 1/2 = 1 1/2
S₃ = 1 1/2 + 1/4 = 1 3/4
S₄ = 1 3/4 + 1/8 = 1 7/8
S₅ = 1 7/8 + 1/16 = 1 15/16
S₆ = 1 15/16 + 1/32 = 1 31/32
S₇ = 1 31/32 + 1/64 = 1 63/64
S₈ = 1 63/64 + 1/128 = 1 127/128
...

Estas sumas parciales tienden a 2. Por lo tanto la suma de la serie es 2. ¡Una verdadera serie convergente!

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